《殷墟甲骨文〈干攴數理表〉與“黃金分割率”考釋（二）——“數學天文學”的概念（三）》

三

現代數學的黃金分割率1：0.618，是平面幾何學的定律，進入中國公眾的視野，應是二十世紀六、七十年代數學家華羅庚大力推廣優選法0.618，它與現實的生產與科學實驗問題緊密相結合，節省人力物力財力，“縮短時間加速進程”，成效顯著，可謂數學實用的一個典范。1971年出版了《優選法評話及其補充》一書，解說明確、通俗、形象、實用，數學公式已經中國化了，例如，用“橫”、“豎”的書寫筆法來講解算法，這種表述可以與中國古代數學天文學的算法進行對接、交換，這可以作為一個專題來探討，意義非同尋常。

后來，人們接觸到的黃金分割率，多與藝術與審美相關。啟功先生將黃金分割率用于書法審美，分析今體楷書的字形結構與橫、豎的筆畫，具有開創性的意義。總的看來，這個數學定律的應用是非常廣泛的。

圖1

圖2

《優選法評話及其補充》封面上印有黃金分割比例的公式（圖3），是指設定區域（0,1）的一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比。其比值是一個無理數，取其前三位數字的近似值是0.618。其公式是：W=(-1+√5)/2=0.618。【1】華羅庚《優選法評話及其補充》，國防工業出版社，1971年版，第27頁）

圖3

圖4

黃金分割比例圖示中的這兩個數值0.618與1.618，可稱作互為倒數。算法是：

1/0.618=1.618122977346278

(1-0.618)/0.618=0.618122977346278

0.618與1.618均為近似值，又稱作“中外比”，這個比例被公認為是最能引起美感的比例，故而被稱為黃金分割率，通常用希臘字母Ф表示這個數值。

現代數學的這個“倒數(reciprocal/multiplicative inverse)”概念是完全抽象的，中國古法的“倒數”是指“倒版”，意思為凡是字形、“數形交合”均要上“書版”，“書版”則有“倒版”。甲骨上契刻著簡冊形制，也是“倒版”，“倒版”用“倒數”，即是特定運算對象的乘以0.9，這涉及運算“分數位”，“分數位”是現代數學所沒有的。

“書版”可以理解，但為什么要運算“書版”呢？這是原始先民的智慧。數學天文學的視運動的運算是極簡的平面幾何學，“化圓為方”要見方形之“書版”，核心是為了確切的運算年、月、日、時的確切數值，可以驗證，也可以世代傳續。簡單的說，二分之“分數”是干支集合論的首務，所以單列一個“分數位”。

怎樣證明倒版用倒數？殷墟“今”（）”（《合集》6834，賓組）字，從三合函數、從一，表示當是時。《說文》釋“今”：“是時也。從亼從紲；紲，古文及。”段注：“今者對古之稱。”【2】〔清〕段玉裁《說文解字注》，上海古籍出版社，1981年影經韻樓藏版，第223頁）這“”字的數理邏輯是，運算“三合（亼）”函數與“一”，就是“二分”字形，或者說“分數”；“一”指是時也，而“三合（亼）”為古，即是“分數位”，從“今”至“古”，都要見書版，反溯“古”就是倒版，而且殷墟“古”字本來就可以運算黃金分割率。“今”字的算法是一種數理邏輯的制度設計，也是根源有自。可以推想，從殷商甲骨文反溯到秭歸新石器時代的數學天文學，跨越3500年，沒有這種數理邏輯的這種制度設計，這門學科知識的形成與發展是根本無法想象的。也就是說：殷墟“今”字的制度設計，也就是“古”法，已有3000多年，再反溯千年萬年，還是“今”與“古”；這種制度設計是眾所周知的一種算法，簡便易行。東漢伏羲、女媧交尾的石刻造像的手持“規”形，其實也是“今”字中的“三合（亼）函數”。

這種視運動的開始只有這一種算法，就是將太陽運行、月亮運行、地球運行的復雜關系作最優化的組合處理。請注意，這是將三個球體變成平面幾何學的圓形、方形，這種“數形交合”在哪里交合？只有在字形中與字形所在的“書版”上交合，這就在“三合（亼）”之中加上四方形的“一維”，成為視運動的“四正四維”。同時也是天地人“三維”再加書契、書版“一維”，這進入視運動的宇宙論。  【3】錢寶琛主編《中國數學史》認為：“古希臘，在很早的時候就采用球面三角法來解決天文學計算方面的問題。其后，印度和阿拉伯國家的數學家對球面三角法也作出了很大的貢獻。隋唐以后，印度天文學和數學開始傳來我國。《開元占經》（公元718年）所載《九執歷》中就曾介紹過印度的正弦表；但是并沒有引起中國數學家在的注意。宋初大科學家沈括，是我國第一個對弧、弦、矢之間關系加以考慮的數學家。他給出了中國數學史上第一個由弦和矢的長度來求弧長的近公式。這就是沈括的“會圓術”。科學出版社，1964年版，第209—210頁。按：這種古希臘“球面三角法”與中國遠古的數學天文學的數形交合的算法則完全不同。中國《開元算經》所載印度《九執歷》的計數法，全是用小方格，而且是長方形，從一到九，再是一個“點”，說明文字有“其字皆一舉囗而成”（第113頁）。印度《九執歷》這種囗形表達式，應該是根源于殷商甲骨文《干攴數理表》中的60個小方格，當然這是代數，但是在秭歸遺址《陶頂盤》中，小方格囗則是數字）所以，簡冊、楮木書版、甲骨版、玉版、石板、陶版皆涉及倒版運算；而記載著天文學的陶版、石版距今約有7000年。例如，秭歸遺址的《陶頂盤》上有8個“田”字，每一個“田”字均為8個小方格組成。從是時起，視運動的運算就有了一項減去“四”或加上“四”的算法，只是針對四方形的“書版”。有了四方的算法，就相當于有了“橫”與“豎”的算法，華羅庚、啟功分析“橫”、“豎”中的黃金分割率，絕非偶然。

為什么優選法認為0.618：0.382為雙因素？優選法就是優化，降維是優化的妙法；降維就是合并而化簡。比如說，“人”之數理是十月懷孕而生，“身”為十，出生以后有“體”，“體”為十二，“身體”數理二十二，這與“目”的數理相同，與干攴集合論的數理也是相同的，這些合并就是化簡降維，即是“可公度性”問題，也關涉到天文學的宇宙論。

墨子的名言“書于竹帛”，本意就是講這種倒版運算，從簡帛倒版至金石，從金石倒版至陶器的盤盂，均有銘文紀功。【4】孫詒讓《墨子閑詁·兼愛下》：“吾非與之并世同時，親聞其聲，見其色也；以其所書于竹帛，鏤于金石、琢于盤盂，傳遺后世子孫者知之。《秦誓》曰：文王若日若月，乍照光于四方、于西土”。孫詒讓注：此引《秦誓》篇“疑后人所改”。商務印書館，諸子集成本，1956年版，第75頁。按：說明一下，這種黃金分割率的運算四方，是一種數理邏輯的形式化，非常重要，不只是一種四方形或直角三角形，也深刻影響到字形、書契的審美內部，如“人格”、“風格”、“氣格”、“品格”、“格調”、“心靈”、“精神”、“氣息”等。我們常說今體的漢字為“方塊字”，其實就是在說“小方格”；格物致知之“格”，也是指這個“小方格”。不知“格”，就不知中華文化，這里暫不探討）所以，“數形交合”的小方格、方形，成為算法與數值的核心。其他的星象觀測也很重要，也要與日月地球的運轉相協調。

現代數學優選法的黃金分割率圖示，是數值1.618的，預設區間是“0,1”的線段，算法的起點實際上是運算（圖2），被稱為“瞎子爬山法”，原本是測算天頂法，其“東”的指向，實際上就是指向春分點。【5】《優選法評話及其補充》第21—22頁）其本圖（圖3）就是我們熟知的黃金分割比例形象圖示，運算連續切分5次方形而形成一個長方形，是指序數第六塊的最為細小長方形，在螺旋線的正中心，數值1.618是先前多了一個運算倒數，即是1/0.618=1.618。這種抽象化的黃金分割率，理論解釋眾多，但沒有天文學視運動運算的意義。

提示一下，現代數學采用希臘文字母“Φ”作為它的符號，其實中國商周時期“中”字，可以運算黃金分割率，應該是“Φ”的原型。【6】〔前蘇〕B.A.伊斯特林《文字的產生和發展》（左少興譯）有《拉丁文字母的起源和發展》圖現示源頭為《西希臘字母表》（北京大學出版社，1987年版，第270頁），其中“Φ”為第23個字母，第6個字母為“f”，中國古代新石器時代的“干攴集合論”的函數，一個是三合，一個也是“六”；《西希臘字母表》第24個字母為“X”，現代西方數學的函數表達式為y=f(x)，元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。中國古代“干攴集合論”函數可以運算出初始的黃金分割率0.618。而“干攴的數理有“六”與“五（X）”的交合，這種相似性就是探究“可公度性”的重要線索）而中國殷商的“中”字，主要是指視運動的推步法，螺旋線正中心表示地球北半球的亞洲區域之中心，最為關鍵的是它是移動的。“中”字是三種形體，除了表示中心之外，還有東向行或西向行之“中”，因為東南西北四方的每一方都有24時辰與360度。這是中國古代數學天文學的一個特性，可以參照鄭州商城遺址的《杜嶺方鼎》側面腹部乳釘紋飾表達的天文學數值（圖4），在360度的四方的左右兩邊，還有4個24乳釘的方形。研究者經常解釋 “中”字為“中國”之“中”，蓋因不知殷人“中”字的推步法的造字之意。“中”字確實與京畿、中心地區相關，但與“國”的意義之視角則有差異。

殷墟“旬”字是視運動推步法的路線圖（圖2），算法是連續五次除以2，是切分小方格的對角線，與現代數學的算法可以通約，但曲線的意義則不同：一是分數對象為天文學的干攴集合論三合（亼）函數，二是牽連周天360度基數，三是運算360度基數的外插法與內插法。

“旬”字二種形體所指示的春分點太陽年、冬至點回歸年（圖2），0.618在其開口處切線頂端的短線，也有一個極小的直式長方形，在螺旋線中心處，因為字形的限制而無法直接表示，直接表示者是書版之“丁”（圖2，《殷墟文字甲編》630）。

中國天文學的太陽年、回歸年，為什么與西方天文學不同？因為天體視運動中，有周日視運動的24時辰參入運算。這種坐標體系就相當于現代鐘表有固定的表盤與移動的表針。數學天文學的算法，就是把這表盤的刻度、數值、算法與表針的轉動確定下來，歷法則是因地制宜的對時間，既是驗證又是應用。【7】〔英〕李約瑟《文明的滴定》認為，中國人“成功的制造出了最古老的機械鐘，其中包括發明一種擒縱機構，即用機械方法減慢一組輪子的轉速，以便與人類的基本時鐘周日視運動保持同步”。（第11頁）按：此處同時認為“中國數學的思想和做法永遠是代數式，而不是幾何式的”，這與高度評價中國古代的手工文明是不相一致的，石器、陶器、玉器、骨器、竹木器、青銅器等，沒有幾何學知識是無法完成的，這種幾何學是早于歐幾里得《幾何原本》的，當然這種百工的專門知識很少能見到原初的資料。其實，圭表本身就是測算周日視運動的時鐘。這需要重新考釋秭歸遺址中的近千個“陶支座”的平面幾何學。

周日視運動的24時辰，是人類生物鐘概念，所以至今被全世界認可，這是科學的“可公度性”的典范。西方天文學從古希臘起就另外假設一個天球，例如柏拉圖宇宙論中的天球模式【8】〔美〕戴維·林德伯格《西方科學的起源》張卜天譯，商務印書館，2019年版，第58—59頁）成為地球中心的代表，再設定一種恒星年，比照運算回歸年或太陽年，這與中國古代的日月地球的運轉完全是兩碼事。

西方天文學的根基中既沒有天地人的三個大“一”形成平面幾何學的“三合函數”，更沒有四方形的書版“丁”參入運算的四正四維；天文學中的“化圓為方”不可思議，更不可思議的是，運算使用數形交合的小方格，這是初始的組合數學【9】陳美東《中國科學技術史·天文學卷》在“先秦時期的數學知識”一章中專門提到“不乏組合數學的思想”，重點是依據是《周易》八卦。科學出版社，2003年版，第46—47頁。按：數學天文學的起源與易八卦相關，這在秭歸遺址的《陶頂盤》中是八個方格之“田”字，擬將另文探討）既有離散性，又有連續性。

圖4

從《杜嶺方鼎》（二號）的數學天文學的范式（圖4）可知，四個“24乳釘”在360度（4個90度）的大四方形之外，數理“24”中有“二十二”為干支的數理，余“二”為表示“四方”，所以二十四節氣的算法中就存在“二”度的伸縮彈性。古法幾何學中“圓”本為“圜”，其實是兩個圓形，一是均勻運轉的360度，一是非均勻運轉內插法與外插法，這是無形的“圓”，即函數運算的“圓”。

《周髀算經》趙爽（約182---約250年）注認為：“天體方則度以正，形圓則審難實。蓋方者有常，圓者多變，故當制法理之。”【10】陳遵媯《中國天文學史》，上海人民出版社，2006年版，第52頁）這是關于數學天文學的方圓關系的最為精辟見解，核心在“圓者多變”而“方者有常”，這等同于說，天文學中的圓周360度是用正方360度之“法定的”,這個方圓問題實質是“數形交合”,是歐幾里得《幾何原本》之前的幾何學，亦即是天文學視運動的幾何學，這是值得認真探究的問題，另文探討。其實道理非常簡單，田里的莊稼如果沒有24時辰的連續生長，二十四節氣也沒用。中國的天文學，必須“化圓為方”。

四

殷商《干攴數理表》可以運算兩種黃金分割率，一隱一顯；“顯”是運算第60格“癸亥·10:12”，數理二十二，“隱”是運算殷墟《干攴數理表》“甲”字之前的“上甲”，數理十一，是天干十與地攴十二交合運轉的中介，實際上就是運算《干攴數理表》中的“勾股定理”。

圖5

殷商表示人名“上甲”的字形，有三種形體“”（《殷墟文字甲編》632）、“”（《合集》27079，何組）、“”《合集》22682，出組）【11】劉釗《新甲骨文編》，福建人民出版社，2014年版，第655頁）（圖5）王國維考釋“”為人名“上甲”與“田”字的區別，要義在考訂殷商先王“上甲徽”，與父王亥、叔王恒一起成為“先王三世”，這是商史研究中的一個硬核問題，與《干攴表》的總體結構相關。“”、“”二形則是“上甲”的佐證，而“上甲”是牽連王恒與《干攴表》的關鍵。【12】王國維《觀堂集林》中《殷卜辭所見先公先王考》、《殷卜辭所見先公先王續考》，河北教育出版社，2003年版，第259—286頁）。簡單的說，沒有“王恒”，殷商與早商、先商是斷裂的。

筆者補證，王亥、王恒、上甲徽的世系關系，與《干攴表》的序列直接相關。河南鄭州商城遺址的《杜嶺方鼎》是數學天文學的范式，這就是說商代在殷人之前就有完備的“干攴”數理模式，王恒之“恒”字兩種形體與“月相”有關，其數學天文學的意義則凸顯出來了。

“恒”位置在在《干攴表》之前，表示干攴集合論的“函數”，函數表達式是“恒”字在“弓弦”之中：【13】張光直《中國青銅時代》對于殷墟干支與商代王位繼承制度、王室親屬婚姻制度的關系，進行了深入的研究，特別關注“王亥”“衛恒”的史料，專門提到“卜辭里的恒字有的寫在一個大弓里面。不知衛恒和殷人使用的弓有沒有傳說上的關系？與傳說中的羿有沒有關系？這些都是我很想知道而一直沒有答案的。除了文化發明繁榮功績以外，王亥、王亥兄弟在商人的王制史上是不是有關鍵性的轉捩點的意義？這也是我很想知道的”。三聯書店，1983年版，第195頁。按：筆者關于《干攴表》作為數學天文學的范式，及其與王亥、王恒、上甲徽的關系的考證，大致可以解答張光直先生的疑問，謹以告慰先賢之靈）“亥”字在《干攴表》之中，為第60格的最后一字：“上甲徽”即為“上甲”，牽連“恒”與《干攴表》第一字“甲（十）”與函數“恒”的關系，為的是運算勾股定理。【14】〔清〕江永《推步法解》：“周天三百六十，此周天整度也。古法用日度三百六十五度有奇，奇零度不便分析”，天干十地支十二相配而為六十，六其六十則為三百六十矣，“要在體數恒為三百六十”。叢書集成初編本，北京：商務印書館據守山閣叢書本，1985年版，第1—2頁。按：這是指三百六十度為基數。西漢易緯《乾鑿度》：孔子曰：歲三百六十日而天氣周，八卦用事各四十五日，方備歲焉。今學者認為“孔子曰”為偽托，但“歲三百六十日”即是三百六十度，同時為“天氣”的一周歲，這涉及數學天文學的坐標的核心數值。數學天文學的算法是360÷6＝60，即是6個《干攴表》。可見，江永《推步法解》此說是講中國的古法。

“上甲（）”表示在《干攴表》之前，即“”、“”之上部的“一”、“上”，又藏在《干攴表》之中，即在首字“甲”字之先，所以為“上甲”。殷墟“甲（）”字（《殷墟文字甲編》870）與《干攴表》第一字“甲”數理相同。注家有的釋為鎧札、甲札，孫詒讓《契文舉例》認為：“甲”字皆作“十”，一之四。【15】李圃主編《古文字詁林》第十冊，上海教育出版社，2003年版，第932頁。這意思是“甲（十）”字為表使數，從“一”之“四”，即是指天干次序的甲、乙、丙、丁。《說文》釋“十”：“數之具也，一為東西，| 為南北，則四方中央備矣。”【16】《說文解字注》第88頁。這是講天文學的坐標。孫說是借用《說文》釋“十”形的天文意義，來解釋“甲（十）”字，而“丁”是指書版“丁”，這種解釋是合理的。

“上甲（）”表示“甲（十）”數理十一，在囗之內又在囗外，囗為360度，“甲（十）”即是東西方向的橫畫“一”、南北方向的直畫“丨（十）”。十一運算黃金分割比例的數值即是1°，囗即是360°，這是“上甲（）”的獨特性。

所以，“上甲（）”是運算數理十一：

A．11÷2÷2÷2÷2＝0.6875

B．0.6875×0.9＝0.61875

C．0.61875－0.00075＝0.618

這是運算“上甲”得出的數值，“上甲”在《干攴表》首字“甲”與《干攴表》之前首字“恒”之間。“甲”字之“十”形，數理十一，與“上甲”算法基本相同。現在從《干攴表》的第一字“甲”繼續運算：

A．1÷0.618＝1.618

B.1.618÷0.618＝2.618

C．2.618＋0.382＝3

這三步運算極為重要，“三”既是牽連函數三合，同時又是進入《干攴數理表》的序數三“丙寅·3:3”，可以運算序數三“丙寅·3:3”、序數四“丁卯·4:4”、序數五“戊辰·5:5”這三項構成的勾股定律。

西方數學的勾股定理，又被稱為畢達哥拉斯定律（Pythagorean Theorem），屬于幾何學的一個基本定理，是指一個直角三角形的兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方。畢達哥拉斯（ 約公元前580年—約公元前490年）的生卒，則成為勾股定理誕生的時間節點。中國古代《周髀算經》稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一較長的直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個定理為勾股定理。【17】程貞一、聞人軍《周稗算經譯注》“前言”對于國內外的研究進展與重要成果作了簡要的介紹。上海古籍出版社，2012年版，第1—15頁）但它的原型與算法在殷商甲骨文。不同的是，中國勾、股、弦皆有數值，即是勾9，股14，弦25，同時是長方形（），實為兩個勾股形，更為重要的是，它是天文學的化圓為方，而直角三角形之“度”是它的切分對角線，這就確定了天文運算是用小方格的模式，或者說小方格的運轉。它是考古出土的原型，還早于畢達哥拉斯800年。

勾股定理之斜邊“弦”，何以得名？這與殷墟中“恒”字在“弦”之中表示函數有關，“恒”字二形表示天文之月相。殷人的造字之意，邏輯非常周密。

   圖6                圖7

殷商“恒”字的三種形體（圖6），“”（《鐵云藏龜》199.3）、（《集合》14768，賓組）、 “”（《殷墟書契前編》7.11.2），前二形表示月亮在天地間恒久的運行，后形是弓弦之中有“”，表示反溯運算到漁獵時代，即是運算《干攴數理表》的干攴集合論之函數。《說文》釋“恒”：常也。從心從舟，在二之間上下。心以舟施，恆也。古文“恆”，從月。《詩》曰，如月之恆。段注：常當作長。古長久字只作長。“心以舟施”，謂往復遙遠、而心以舟運旋，歷久不變。“宙”下曰，舟車所極復也”。【18】《說文解字注》，第681頁。這已是漢代的理念，涉及舟車的交通往復，區域廣度在地球之南北極，也有反溯古法的意思，即是指遠古的視運動的推步法，舟車代步也算是推步法中的一種輔助方式。

殷墟“函”字的兩種形體（《合集》37545，黃組）、（《合集》28068，無名組）（圖7），均表示箭矢在箭袋中，這是函數的一種表達式，意思是拿出箭矢可以上弦放射而射取獵物，于物則為減數，于己則為加數，可以進行初始的加減乘除四則運算，涉及分數位、個數位、十數位、萬數位的運算。

還有“射中一日”之字“”（《合集》13934正，賓組），與后羿射日神話相關，這是運算十日，即十個太陽，相當于天干十，而這個帶一點的“日”形正在拉弦射箭之處，或者說在“弦線”的中部，這不能說與“勾、股、弦”的算法毫無關系；“弦”中有函數“恒”，弦線上有射中一日之形，日中還有小數點，“弦”還是勾股定理之“弦”，是勾平方、股平方之合，恐怕不能說這是一種巧合。

殷墟“辰”（，《合集》25747，出組）字，象人之二手持圭表測算天象之形。【19】《說文解字注》釋“辰”：民農時間也。物皆生，從乙、匕，象芒達；廠，聲也。辰，房星，天時也。從二，二，古文上字。今學人解釋諸多，董其昌《矢彝考釋》認為“從二”為人形二手之省形，三合之形為星宿三星，近似本義。李圃主編《古文字詁林》第十冊，上海教育出版社，2004年版，第1124頁）象形字的造字之意，來源可能是多種，這三合之形，可能是茅屋，也可能是房星等，也可能是用圭表，這些意義可以關聯，本來“形”就存在一定的多義性。。

《周髀》原文“既方其外，半之一矩”這一句非常關鍵，“既方其外”是說圓形之外的方形：“半之一矩”是說切分長方形的對角線，而“矩”則是使用戰國中后期的術語“規矩”之“矩”。但是，在殷商《干攴數理表》、中的序數四“卯丁”之“丁”皆為正四邊形的小方格“”，共計六個小方格“”，合起來即為長方形。“半之一矩”是指切法對角線，成為兩個直角三角形的“度”，即是黃金分割率。這表示視運動之運算360基數可以有兩個內插法，這即是“旬”字。

圖8

    趙爽（約公元182年－250年）注：“句股之法：先知二數，然后推一見句股，然后求弦。先各自乘成其實，實成勢化，外乃變通。故曰：既方其外，或并句股之實，以求弦，實之中乃求句股之分。并實不正等，更相取與，互有所得，故曰半其一矩。其術：句股各自乘三三如九，四四一十六，并為弦，自乘之實二十五，減句于弦為股之實一十六，減股于弦，為句之實九。”【20】陳遵嬀《中國天文學》，上海人民出版社，2016年版，第80頁）趙注的算法是：“丙寅·3:3”自乘為9，“丁卯·4:4”自乘為16，“戊辰·5:5”自乘為25，合計9＋16＝25，即是a2 + b2 = c2。（圖8）

可見，趙爽此說非常準確，核心是算法：“句股之法，先知二數，然后推一見句股，然后求弦”。我們根本不會想到這個“數”概念，殷商有表示“數”概念本身的字形“殳”字、“攴”字，漢代隸書中皆見于隸定為“數”字。【21】錢寶琛《中國數學史》關于漢代《九章算術》的研究，有一個觀點是“中國數學家在方程章里，提出了正負數的不同表示法和正負數的加減法則。這在數學史上是一個無比偉大的成就。”科學出版社，1964年版，第55頁。按：這種看法是正確的，不過這是指中國古代數學天文學分化為天文學與數學兩個獨立學科以后的數學（算學）。中國的古法沒有“負數”概念，而是單列“分數位”這個數位）二形數理二十二，可以運算出黃金分割比例，這就是先知二數0.618，0.382。

順便說一下，殷商沒有“股”字，“殳”字為“股”的本形。然后“推一見勾股（書版之丁）”，即是0.618＋0.382＝1；然后“求弦”，即是求直角三角形弦線上的一個黃金分割點，這是唯一，勾股定理與黃金分割率合體，確實是“唯一”。天文學中的算法，是墨子的“一中同長”與“等高法”，擬另文探討。

圖9                      圖10

李儼《中國算學史》認為，趙爽《句股方圓圖注》是以《弦圖》證明勾股定理，“施以朱、青、黃諸色”（圖9），【22】李儼《中國算學史》，商務印書館，1936年版，第16頁）這是合理的。從南宋本的《弦圖》（圖10）看，趙爽注釋所言，大面為正四方形，“中黃”為中心的小方格“黃實一”；“朱實六”指直角三角形，“弦實二十五”指四個書版之“丁”。這些數字比較混亂、圖形也不準確，錢寶琛《中國數學史》認為，這個圖與解釋文字均“與趙爽原義不能符合”，【23】《中國數學史》第57頁）這是正確的。不過，《弦圖》雖然不夠標準，但在一定程度上反映出漢人關于勾股定理的思路與算法。

筆者以為，對照殷墟《干攴數理表》的數理，“戊辰”應為二五，南宋本的圖示是朱實十二格，這不合趙爽的本意；李儼解釋的“弦圖”為5個方形具有合理的性，“中黃”為中心的小方格“黃實一”，四個長方形應該是殷墟之“丁”字之變異，可以將4個朱實的長寬比值調整到0.618:0.382；另用一個大面，即是大方形，也屬于“黃”，所以大面的四方形減去四朱實的長方形，余下的小方格即為“黃實一”，這表明《干攴表》的運算60序數全是運算小方格。當然，這種勾股定理的算法，是與天文學相分離的一種表現。

總之，“上甲（）”算法的核心，數為360°與1°，1°中有24時辰與黃金分割比例0.618:0.382，形為“（甲）十”，是天文學視運動的坐標構架，劃分東西南北、春夏秋冬，這“（甲）十”形與大方形360度是互證的。所以，“上甲（）”還有另一形“上甲（）”，此形為圓周，與“甲（十）”字的一橫一直相合。黃金分割率是數形交合為書版丁，一橫一直則為天文學視運動的坐標構架，確立東西南北。

“上甲（）”為圓周，與“上甲（）”之方形互證，圓周360度的中間也是一橫一直之“甲（十）”。西周晚期《兮甲盤》銘文“甲”（《集成》10174）字，已成為圓形〇與數“十”，直接表示十日，不同于殷商“甲（十）”字的數十一，但可以運算《干支表》，這說明天文學視運動中的數形交合的非常特殊的方圓關系。

王羲之真草二體《小學篇》是南朝梁代集字《千字文》的原本。【24】張天弓《王羲之〈小學篇〉與〈千字文〉考》，載于《書法》2020年第2期）《千字文》開篇是“天地玄黃”四字，是講蒙學的天文學知識，這個“玄黃”是與《周髀》及其趙爽《句股方圓圖注》是直接相關的，也是講黃金分割率，用以字形、筆勢則為“直（豎）”與“橫”，這是講天文地理、古今傳續，與真草二體對應。《說文》釋“體”為“總十二屬也”，真草二體之數理二十四，正是24時辰牽連二十四節氣。王羲之真草《小學篇》，開篇就講“天地玄黃”，即是講黃金分割率。（待續）

2022年1月22日于武昌