
《西安半坡遺址陶器、元君廟遺址陶器之“紋點三角形”考釋——“數(shù)學(xué)天文學(xué)”的“視運動”概念(五)》
張?zhí)旃?/span>
原始人類怎樣記數(shù)?何時開始記數(shù)?何時開始計算數(shù)?記數(shù)、計算數(shù)之前還有圖形,包括幾何圖形,數(shù)與形的關(guān)系如何?這是探究人類文明起源的一個重要課題。【1】〔法〕列維—布留爾《原始思維》第四章、第五章從原始人的思維與他們的語言的關(guān)系,依據(jù)收集的大量的原始材料對原始民族語言的記數(shù)、計數(shù)法進行了深入研究,有一定的參考意義。該書把不屬于“地中海文明”民族的“原始人”的思維方式稱作“原始思維”,中國遠(yuǎn)古的思維方式也被界定在“原始思維”之中,這是“歐洲中心論”的歷史觀,不符合歷史真實。(丁由譯,商務(wù)印書館,1981年版,第131—218頁)本文所探討的這個“紋點三角形”所表達(dá)的數(shù)學(xué)天文學(xué)的算法與數(shù)值,可以與“地中海文明”舉行比較研究,至少可以說明人類的科學(xué)思維的起源是多元的,或者說是一體多的。
華夏先民的數(shù)學(xué)思維,一開始就是天文學(xué)的運算與數(shù)值,這是稱名為“數(shù)學(xué)天文學(xué)”的主因。其獨特個性就是“數(shù)形交合”的干支集合論函數(shù),這是歐幾里得《幾何原本》之前的天文學(xué)的平面幾何學(xué)。這里探討的是陜西仰韶文化陶器(約公元前4800年公元前2000年)上的“紋點三角形”(圖1),就是這種天文學(xué)視運動的“數(shù)形交合”的一種樣本。
圖1
圖2 圖3
圖1左圖為西安半坡出土的陶器殘片,上面有“紋點三角形”(圖2)。今研究者認(rèn)為,這屬于“原始計數(shù)方法”中的“數(shù)與形的關(guān)系”,是原始人類與自然接觸的實踐中獲得的“關(guān)于數(shù)與形及其關(guān)系的認(rèn)識”,表示“一個頂點在下、每邊8個孔的等邊三角形,八排平行的孔,每一排比上一排少一個,這確實是數(shù)與形的完美結(jié)合”;右圖是“屬于仰韶文化的陜西華縣元君廟墓地出土的陶器上也有類似的圖案,紋點數(shù)更多”(圖3),并進一步推論,這種數(shù)形結(jié)合可能誘發(fā)兩種思維取向,一是實用化,一是神秘化。【2】郭書春《中國科學(xué)技術(shù)史·數(shù)學(xué)卷》第一章第二節(jié)中的“原始計數(shù)方法”之第三項論述“數(shù)與形的關(guān)系”。科學(xué)出版社,2010年版,第11—12頁)這種分析的重點在“等邊三角形”,也是合理的,很可惜,沒有清點、計算“形”與“數(shù)”。原始人類的數(shù)學(xué)思維就在于實用,沒有數(shù)值與算法就等于無用。
一
從數(shù)學(xué)天文學(xué)看,這個西安半坡的紋點三角形(圖2)依據(jù)書契行款直行下行、橫列左行的形制,大致有三種主要算法,一則計“數(shù)”、一則計“形”、一則計“數(shù)形交合”,均與等腰三角形相關(guān)。算法是:
三角形第一行斜邊有紋點8個,依次遞減至一行一個紋點,紋點總數(shù)36個,36與24對應(yīng),或者60=36+24,現(xiàn)作具體分析:
(1)8+7+6+5+4+3+2+1=36;36+24=60
(2)36為36個“旬”,或360度,或6個《干攴表》;(3)24為24時辰,牽連二十四節(jié)氣,即360度;
(4)360度或36旬,即是36X10=360;360度即是平
均十二個月,每個月3旬。
這種算法,是運算干攴集合論的三合函數(shù),它關(guān)聯(lián)年、月、日、時。請注意,24在運算的數(shù)值中,卻是未見其明數(shù),可以稱作“隱數(shù)”。簡單的說,見到數(shù)36,就會聯(lián)想數(shù)24。
這個36個紋點的三角形的排序,是始于一行8個點而終于一行1個點,總共8行而形成一個等邊三角形。這與“干攴集合論”的三合(亼)函數(shù)的算法相對應(yīng),可以說是運算“旬”字之黃金分割比例的初始。
(二)三角形中第1行為8個小三角形,后7行為28個小菱形,算法是:(1)8個三角形180度;(2)28個平行四邊形360度;(3)運算這個紋點三角形中的數(shù)形交合:
a.28÷2=56
b.56+8=64
c.64=60
其64中的4,相當(dāng)于運算四方,每一方可以是二十四。
(三)這種算法還是依據(jù)36個旬(周天360度基數(shù))、與周日24度基數(shù)相牽連。24度牽可以連年、月、日、時。請注意,運算角度(刻度)依據(jù)“形”,運算角線依據(jù)“數(shù)”,二者在等邊三角形、平行四邊形中不是等值的,這涉及天文學(xué)運算中的“方圓關(guān)系”的問題,或者說“干攴集合論”的“三合(亼)”函數(shù)的問題。第一行8個三角形(180度),不同于后7行平行四邊形(360度),這是一條很重要的原則。
(四)28個平行四邊形(360度),一則可以表示外插法,即是28=24+4;一則可以表示內(nèi)插法,即是28+32=60。這個28個360度非常關(guān)鍵,它是運算“二十八星宿”的數(shù)理,減去四方、四象即為24。這要專門探討。
(五)這個紋點三角形(圖3)的簡化算法,就是把“紋點”皆連接成“線”,或者說等邊三角形之“線”,總計此等邊三角形加上一個大等邊三角形:
(1)13+11+9+7+5+3+1=49
(2)49+1=50
這種算法與數(shù)值,是以運算十為基數(shù),可以進行更高層級的抽象化。【3】馮時《中國天文考古學(xué)》“早期北斗遺跡”專題中論述安徽潛山薛家崗出土七件石刀(公元前3360—公元前2920年,至公元前3264年—公元前2784年),石刀上有圓形鉆孔,依次相加為1+3+5+7+9+11+13=49,認(rèn)為“從1至13共分七級,均為奇數(shù)”;“49恰好也是7的倍數(shù)!古代的方士禳星祭斗,正是采用這個數(shù)字”。中國社會科學(xué)出版社,2017年版,第139頁。按:古代數(shù)學(xué)天文學(xué)中的“數(shù)形交合”適應(yīng)天文學(xué)運算的需要,與后來的單純而抽象的幾何學(xué)有差異,表現(xiàn)為數(shù)與形的復(fù)雜關(guān)系,同為數(shù)49,一則為組件,一則為等邊三角形之和數(shù),但均有天文學(xué)數(shù)值的意義。
總之,西安半坡這個紋點三角形的數(shù)理比較豐富,核心數(shù)值是:(1)36:24;(2)28個360度與8個180度;(3)64個180度,即是64=60+4,4即是運算四方、四方風(fēng)。這與數(shù)學(xué)天文學(xué)視運動的數(shù)值與算法相關(guān)。這塊陶片殘缺嚴(yán)重,無法探知原形紋飾的全貌。
二
陜西華縣元君廟墓地出土的陶器上的紋點三角形(圖1右),第一行為縱向斜邊的10個小紋點,行點依次遞減。止于第十行一個紋點(圖4),總計這個三角形的紋點55個。
圖5 圖6
算法是:
(一)運算紋點三角形中的點:
(1)10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55
(2)55÷2÷2÷2=6.875
(3)6.875X0.9=6.1875
(4)10=6.18+3.82
10=6.18+3.82的這種算法,是運算“旬”字的平均十日;1=0.618+0.382的這種算法,是運算“旬”字的平均一日,二者數(shù)理相通。這是非常重要的兩種黃金分割比列的表達(dá)式,而10=6.18+3.82這種表達(dá)式更實用。
郭沫若《釋支干》認(rèn)為殷墟《支干表》有“三旬式”和“六旬式”兩種,如果從“干攴集合論”看,分?jǐn)?shù)運算二十二即為六旬式,分?jǐn)?shù)運算十一即為三旬式。運算十一可與運算55交換。所以,這三種算法均可以運算黃金分割率。
(二)運算紋點三角形中的形:
(1)第一斜直行10個等邊三角形,即是10個180度。
(2)第二行至第十行為菱形,依次是始于9個,止于1個,總計45個360度,即是9+8+7+6+5+4+3+2+1=45
圖7
(3)360度可以為1°,45個360度則為45°,從天文學(xué)視運動的坐標(biāo)體系看,殷商“癸”字三種形體(《鐵云藏龜》112.3:《殷墟佚存:545)右上端表示春分點、對應(yīng)秋分點,左上端表示冬至點、對應(yīng)夏至點。前一形無出頭短線,表示運算360度;后一形有出頭短線,表示運用黃金分割率來運算基數(shù)360度之外插法。最右形為晚商《癸?卣》銘文“癸”字(圖7),是南北極之中軸線,這表示周天視運動的基本坐標(biāo),是為靜。甲骨文“癸”字二形則表示運轉(zhuǎn),是為動。
(4)此第一斜直行的10個三角形180度,有別于后面的菱形360度,二者可以交換運算:一則運算360度,數(shù)值為50(45+5)個360度,二則運算180度,數(shù)值為120(110+10)個180度。
(5)此元君廟遺址的陶器50(45+5)個平行四邊形360度,與西安半坡陶片50個等腰三角形180度,這兩種數(shù)值、兩種算法具有什么關(guān)系?可以繼續(xù)探究。
(三)簡化算法(圖6)是把“紋點”皆連接成等邊三角形的“線”,始于第一行17個等邊三角形,第二行15個,終于一個,總計81個等邊三角形。據(jù)此圖形算法是:
(1)17+15+13+11+9+7+5+3+2+1=81
這種數(shù)81的算法是一個大等邊三角形中一行一行的小等邊三角形的相加,很容易聯(lián)想起“九九”之?dāng)?shù)。李儼《中國算學(xué)史》在“上古時期”中有專論“九九”一項,主要依據(jù)傳統(tǒng)文獻(xiàn),分析“乘法小九九”。【4】上海書店,1936年版,第5—6頁)這是戰(zhàn)國后期數(shù)學(xué)學(xué)科企望獨立發(fā)展的一種表現(xiàn),根源就是《干攴數(shù)理表》。
總之,陜西元君廟陶盆上的紋點三角形,核心數(shù)值是:(1)紋點數(shù)值55,可以運算黃金分割比例6.18:3.28;(2)紋點成形則為81個等邊三角形180度,牽連干攴集合論三合函數(shù);(3)紋點55的等邊三角形排序是一行對九行,于是出現(xiàn)“九九”之?dāng)?shù),成為中國古代數(shù)學(xué)的一個分界點。
(4)從這完整的陶盆的側(cè)面影像看,這種紋點三角形涉及8個,如果陶盆整體設(shè)計是對稱或均衡結(jié)構(gòu),那么這紋點三角形應(yīng)該有16個,而可以形成8組,這就與天文學(xué)視運動的坐標(biāo)體系基本相合。
三
中國古代數(shù)學(xué)史的研究,將專門學(xué)科或形成體系的數(shù)學(xué)界定在東漢《九章算術(shù)》(約公元一世紀(jì))以后,這與中國古代天文學(xué)體系也成于漢代的判斷是一致的,其共通點就是不知中國古代數(shù)學(xué)天文學(xué)。這個數(shù)學(xué)天文學(xué)不是萌芽,而是早熟體系。陜西仰韶文化遺址這兩種紋點三角形的數(shù)值與算法,就是數(shù)學(xué)天文學(xué)視運動的一種特殊樣本,其特殊性就在于等邊三角形,是數(shù)形交合,可以與戰(zhàn)國時期的楚國數(shù)學(xué)天文學(xué)相關(guān)聯(lián),尤其是與楚簡《算表》的對應(yīng),這是一個值得關(guān)注的新課題。
西安半坡陶片的紋點三角形是第一行與后七行的關(guān)系,核心數(shù)值在紋點36個,華縣元君廟陶盆的紋點三角形第一行與后九行的關(guān)系,核心數(shù)值是紋點55個與三角形81個,于是出現(xiàn)了運算黃金分割比例與九九之?dāng)?shù),其根源在殷商《干攴表》。
《干攴數(shù)理表》第一個小方格“甲子·1:1”,依次到第九個小方格“壬申·9:9”,全部切分為二,即成為兩組“1—9”,再反溯運算其積數(shù),就是九九八十一、九八七十二等。簡單地說,切分“干攴交合”中的“甲子·1:1”至“壬申·9:9”,這是分?jǐn)?shù),再反溯運算則是用乘數(shù),不同的是“乘法小九九”是純粹數(shù)學(xué),完全從天文學(xué)中獨立出來了。它應(yīng)該早于“乘法大九九”。
西漢《周髀算經(jīng)》記載:
昔者周公問于商高曰:“竊聞乎大夫善數(shù)也,請問昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升,地不可得尺寸而度,請問數(shù)安從出?”商高曰:“數(shù)之法出于圓方,圓出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。故折矩,以為句廣三,股修四,徑隅五。既方之,外半其一矩,環(huán)而共盤,得成三四五。兩矩共長二十有五,是謂積矩。故禹之所以治天下者,此數(shù)之所生也。”
關(guān)于商高答話的研究比較充分,基本認(rèn)可“矩出于九九八十一”是指“乘法小九九”【5】程貞一、聞人軍《周髀算經(jīng)譯注》解釋:此“九九八十一”是指“乘法運算”。上海古籍出版社,2012年版,第41頁)筆者認(rèn)為,我們不知秭歸遺址的數(shù)學(xué)天文學(xué),就無法理解“包犧立周天歷度”與“伏羲執(zhí)矩”,不曉此“矩”為何物。此處已見兩種“紋點三角形”,數(shù)值差異很大,這就是說“數(shù)形交合”的關(guān)系相當(dāng)復(fù)雜,現(xiàn)代的“數(shù)論”、“幾何學(xué)”是我們探究這種“數(shù)形交合”的一種非常重要的參照,但核心還是要尊重歷史的真實。
這個“九九八十一”的乘法,一定晚于墨子(公元前476或480年—公元前390或420年),理由至少有三條,一是墨子關(guān)于《干攴數(shù)理表》的公理化,就是把《干攴表》的代數(shù)轉(zhuǎn)換為純粹數(shù)字,沒有這種數(shù)字公理化,則無大九九或小九九,二是運算《干攴數(shù)理表》的關(guān)鍵在黃金分割率,墨子非常清楚,《墨經(jīng)》中即是使用黃金分割率來證明宇宙統(tǒng)一性。三是墨子的數(shù)理邏輯的證明,對待“函數(shù)”采用“隱數(shù)”方式,也就是說僅用其實、其數(shù)而不見其字。這樣一來,“函數(shù)”表達(dá)式離開特定語境則看不懂。
有力證據(jù)是清華楚簡《算表》(約公元前305年),實際上是《干攴數(shù)理表》第一格“甲子”至第九格“壬申”切分為兩個系列“1—9”,再將其中的一個“1—9”前移至“十?dāng)?shù)位”,則變成“10—90”,最終反溯(倒版)運算乘法的大九九與小九九,尤其是還保留運算《干攴數(shù)理表》的黃金分割率,即是使用代數(shù)“”、“缽”。【6】楚簡《算表》中“
”字的右形為“勻”,表示用“二”分?jǐn)?shù)“十二”;左形“
”從“
”、“
”;表示用“五(
)”分?jǐn)?shù)“十(
)”,十二與十之和為干支數(shù)理二十二,可以黃金分割率。“
”之前還有一個代數(shù)“缽”字。張?zhí)旃?/span>初論殷商甲骨文中的“進十位數(shù)制”——考釋“術(shù)”“殳”“攴”“恖”、〈干支表》與楚簡〈算表數(shù)理表〉、羅素〈數(shù)理哲學(xué)導(dǎo)論數(shù)理表〉、〈書寫筆順圖〉之關(guān)系》,載于《書法研究》2021年第2期)今研究者認(rèn)為“
”的意思是“1/2”,“缽”的意思是“1/4”,這種解釋雖然不知“
”字表示黃金分割率,但認(rèn)為“
”(1/2)”、“缽(1/4)”具有分?jǐn)?shù)的數(shù)值仍有合理性。
楚簡《算表》為什么使用這兩個代數(shù)“(1/2)”、“缽(1/4)”(圖9)?想運算什么“數(shù)”?《周髀算經(jīng)》所謂“九九八十一”提示我們,“商高”此言是依托,出于楚簡《算表》之后。楚簡《算表》就是乘法大九九與小九九,其根源是殷墟《干攴數(shù)理表》的一種倒版,最終還是要運算天文學(xué)視運動。筆者制作楚簡《算表數(shù)理表》(圖10),可知《二十八星宿》圖示最早見于《曾侯乙墓漆箱二十八星宿圖》,還有“衣箱”側(cè)面的《后羿逐日圖》、《后羿弋射圖》相對應(yīng),所以這種《二十八星宿》的算法是28=24+4,意思是運算四方、四方風(fēng),而每一方則是24時辰牽連二十四節(jié)氣。
圖9
圖10
回到楚簡《算表數(shù)理表》,“(1/2)”是二個字形,分別在左下角“一”數(shù)的下邊與左邊,因為《干攴數(shù)理表》第一格“甲子”至第九格“壬申”的算法是“九九八十一”,所以“
(1/2)”字實際上在《干攴數(shù)理表》第一個“甲子”之前。因為“九九八十一”的算法,這個元君廟墓地陶盆的紋點三角形第一行10個等邊三角形,應(yīng)該在《干攴數(shù)理表》之前。“
(1/2)”字運算對象是這10個等邊三角形,數(shù)值是5(5個等邊三角形)。最左下角的代數(shù)“缽((1/4)”應(yīng)該是繼續(xù)運算“
(1/2)”,但運算對象是什么?應(yīng)該是運算“甲子·1:1”之前的“上甲(上甲徽)”,即商代先王王亥、王恒兄弟之后繼。這就是屈原《天問》、《離騷》、《九歌》等篇提出的數(shù)學(xué)天文學(xué)的諸多問題【7】張?zhí)旃冻鹞摹⒊啞凹弊挚坚尅喺摷险摵瘮?shù)運算黃金分割率》,載于《書法報》2021年8月18日)
戰(zhàn)國時期“甲(十)”字?jǐn)?shù)理“十”,其算法“缽(1/4)”的數(shù)值為0.25。所以,運算代數(shù)“(1/2)”字、“缽(1/4)”字的數(shù)值為5.25度,加上周天360度基數(shù),即為周天365.25度。請注意,這種算法必須的前提是“九九八十一”,不是用其乘法,原本81個紋點的等邊三角形是用加法,而且“九九”之?dāng)?shù)還要牽連“大一(第一行10)”。這可以說明西漢的《周髀算經(jīng)》的天文學(xué)視運動的坐標(biāo)與算法,與東漢數(shù)學(xué)天文學(xué)的周天365.25度相同。
這個周天365.25度是天文學(xué)史上的一個懸案,西源說與中源說都有證據(jù)與理由,難以定奪。陜西仰韶文化的陶器上的兩種“紋點三角形”,與楚簡《算表數(shù)理表》對接,與《周髀算經(jīng)》牽連,可以解答這個歷史懸案,這是獨一無二的證明。否則,我們很難查清周天365.25度的來源與算法。
陜西仰韶文化這兩種“紋點三角形”,是數(shù)學(xué)天文學(xué)視運動的三角形的樣板,可與河南鄭州商城遺址的《杜嶺方鼎》的數(shù)學(xué)天文學(xué)視運動的四方形的范式相媲美,對于我們認(rèn)識古希臘歐幾里得《幾何原本》之前的幾何學(xué)提供了重要的考古出土的原始資料。
2022年1月26日于武昌