《殷墟甲骨文《干攴數理表》與“黃金分割率”考釋（一）——“數學天文學”的概念（三）》

張天弓

一

殷商甲骨文（約公元前1300年—約公元前1000年）有“天干”、“地攴”、“干攴”等概念，還有《干攴表》，這是殷商文字字形中的相當成熟且自成體系的數學天文學。長江三峽的秭歸新石器時代遺址的數學天文學（距今約7000年）是其源頭，它一降生就有比較完整的天體視運動的坐標體系、核心算法、基本數值，而黃金分割率則是運算周年360度與周日24度及其內插法與外插法的關鍵。

圖1

筆者已對殷商甲骨文中諸多字形的黃金分割率進行了初步考釋，如“日”字、“月”字、“明”字、“文”字、“田”、“數”字、“丁”字、“度”字、“書”字、“筆”字、“版”字、“丁”字、“目”字、“正”字、“中”字、“士”字、“史”字、“事”字、“臣”字等，都與數學、天文學相關，【1】張天弓《初論殷商甲骨文中的“進十數位制”——考釋“術”、“殳”、“攴”、“悤”<干支表>與楚簡<算表數理表>、羅素<數理哲學導論數理表>與<書寫筆順圖>之關系》，載于《書法研究》2021年第2期，第54—74頁；張天弓《殷商甲骨文“士”運算黃金分割率——殷商甲骨文中的數理邏輯初探》，載于《書畫藝術》2021年第1期，第30—37頁）又依據《甲骨文合集》（37986）收錄的一件完整的牛胛骨上契刻的簡冊形制（直行下行，橫列左行）的《干攴表》（圖1）【2】劉翔等編著《商周古文字讀本》，語文出版社，1989年版，第6頁），制作了一個《干攴數理表》（圖2），采用簡體楷書字形、配以印度—阿拉伯數字符號作翻譯性的表述，便于識讀與運算，字理與數理仍然依據原字。

殷商甲骨文《〈干攴表〉數理表》

圖2

這個《干攴數理表》為直行六行，橫列十行，組合為一個直式長方形，計有60個小方格；所有方形的四個內角之和均為360度，包括小方格。這就是說，運算周天360度基數是常例，這一點是中國古代天文學最為普通的常識。

第六十個小方格為“癸亥·10:12”，黃金分割率的極簡算法是二分法的“分數”，運算干攴集合論函數：

A．10＋12＝22

B．22÷2÷2÷2÷2÷2＝0.6875

C．0.6875×0.9＝0.61875

D．0.61875－0.00075＝0.618   

這種天文學視運動的黃金分割率0.618，與現代抽象數學的算法不同、性質不同，它是什么意思？有什么功用？從秭歸遺址的數學天文學的源頭看，這個黃金分割率才能看得比較清楚。研究對象是太陽運行、月球運行、地球運行之關系，研究方式是視運動的推步法，是用小方格進行動態運算，運算對象是干攴集合論函數，與天體的運轉相對應，表達式是“數形交合”，屬于天文學視運動的平面幾何學。

這里先說明幾點要義；

（一）這個0.618，首先是指“旬”字。殷商“旬”字有的兩種形體，是指天文學視運動的推步法路線圖：一種形體“”(《合集》16790，賓組）是表示運算春分點太陽年；一種形體“”（《合集》 6834，賓組）是表示運算冬至點回歸年。其上部斜畫交叉點為0,交叉點前的短線為0.618（或0.61875），是指十日一“旬”的平均一天之白天的長度，相當于平均一日的晝夜長度之比值為1＝0.618:0.382。

數學家華羅庚的“優選法”稱為0.618為“平面幾何學上黃金分割法”，“這是一個求函數最大值或最小值的問題”，還用現代數學的來表示它的一種算法，運算無理數，【3】華羅庚《優選法評話及其補充》，國防科技出版社，1971年版，第28頁、第26頁）這是準確而合理的，可與華夏先民的天文學中的古法進行交換運算。天地運行的晝長夜短的之黃金分割比例，作為函數的最大值與最小值是理所當然的事情。

（二）“旬”字涉及春分點、冬至點，運算一“旬”即是勾連36個旬，即周天360度，四方形、小方格都涉及四個內角之和的360度。

360度即是6個《干攴表》，或36個“旬（10日）”，或12個“月（3個旬）”，或東南西北四方、春夏秋冬四季，即二十四節氣；“旬”還牽連周日視運動24時辰。也就是說，360度即是36個旬，把一天24小時與一年二十四節氣捆在一起，同時又是以360度為基數的內插、外插的算法，這也就是“旬”字作為推步法路線圖的核心作用。

（三）運算周年360度基數的外插法與內插法。外插法是指360度以外的5點幾度；內插法涉及運算朔望月與閏月。運算周日24度基數與周年360基數的交接，需要運算數學的核心“數位制”，一是運算分數位、個數位這兩個數位的極數九滿一而進十數位，二是“十進制”與“六十進制”的交換運算。這些數位的問題非常重要，譬如說，天文學運算必然會涉及分數、或小數，所以單列一個數位“分數位”。現代數學沒有這個“分數位”概念，計算涉及到比0小的數，則稱作真分數，還有假分數等。這些問題需要專門探討。

（四）黃金分割率是指“度”概念本身。殷墟“度”字的一種形體“ ”（《戰后寧滬新獲甲骨集》1.234），從右手、從直角三角形；這個直角三角形的直角長邊與直角短邊，經過切割下來測算，比值為0.618:0.382，與“旬”字表示的數值形同，意義一樣。

下文將會討論，這“度（ ）”字的直角三角形，是《干攴數理表》序數第三方格“丙寅·3:3”、第四方格“丁卯·4:4”、第五方格“戊辰·5:5”構成的勾股定理，表達式是書版“丁（）”（《殷墟文字甲編》630），即是一個長方形，也就是《干攴數理表》中的六個“丁”字之形，經過運算合并為長寬之比值為0.618:0.382，切分這個長方形的對角線即成為這個直角三角形的“度（ ）”。

殷人天文學中的勾股定理，同時又是黃金分割率，這是數學史上最早的獨一無二的勾股定理。說明一下，在現代數學的勾股定理的定義中，中國古代的黃金分割率實際上是勾股定理的余弦上一個黃金分割點。

這個“度”概念本身，表示測量運算的方法，又表示運算數形交合的準則，自己還有數值、數形，是運算天文學視運動的核心概念。《說文》釋“度”：“法制也。”段注：“《論語》曰：謹權量，審法度。《中庸》曰：非天子不制度。”【4】段玉裁《說文解字注》，上海古籍出版社1988年影經韻樓藏版，第116頁。這就是說，“度”是天文歷法的核心算法，才可以定性為“法制”、天子的“制度”。

圖3

從平面幾何學之形看，黃金分割率首先是：（1）運算干支集合論函數三合與函數六，都有見于數形交合；（2）繼續運算勾股定理，有正長方形之書版“丁”，與切分對角線的直角三角形之“度”。（4）表示天文學視運動的算法，即推步法的“旬”字，這是一種及其復雜的幾何模型，具有拋物線、等高線的特征（圖3）【5】華羅庚《優選法評話及其補充》第31—33頁。按：這個圖示是表示黃金分割率涉及的曲線函數、拋物線函數。按照優選法“雙變數和等高線”的解釋，這三個原形應該是與干十、攴十二、干攴二十二相關，并且在方形中運算。這實際上是《墨經》中的算法。

“旬”字的內涵非常豐富，算法極簡而解說困難。通俗的說，《干攴數理表》中經過運算的6個小方格組合成一個直式長方形，這是黃金分割比例的載體；而切分其對角線，則為直角三角形之“度”。這個直式長方形上面書契著這推步法路線圖，二種字形表示的路線圖的指向，分別是春分點與冬至點，0.618表示路線開口處的短線的長度，可運算周年視運動的外插法。這個直式長方形作為序數六，在“旬”字曲線中心端點處，可以運算朔望月、閏月與36個“旬”（360度）的關系，涉及內插法與外插法。

（五）我們現在使用的“度”概念，作為科學的術語則來自西學。英文degree，法文degré，德文Grad，來源于拉丁文degradare，原是“步”、“級”的意思。【6】梁宗巨《世界數學史簡編》，遼林人民出版社，1980年版，第29頁）這種抽象性的“度”，應用在數學中、天文學中都有各自的基本定義，與中國古代天文學的“度”字完全不同。

中國古代的天文學研究、數學研究，一直依據西式的思維方式與數學計算，包括引進的這個“度”概念，對于中國的古“度”完全不知，認知“旬”字是表示十日，但不知“旬”字還表示的推步法路線圖與黃金分割率。

所以，盡管百年來學術研究的成果豐碩，令世人舉目，但未見天文學的基本數值，或者說是一種見不到年、月、日、時的天文學。不斷有新石器時代的考古資料出土，天文學、數學上的釋讀非常困難，古今隔膜的固化嚴重。  

總之，“旬”字與36個“旬”（360度）掛鉤，又與1個黃金分割率掛鉤（1度，第37個旬）【7】董作賓、陳夢家、島邦男、許建雄、常玉芝等對于殷墟卜文中周祭制度的研究，初步形成的共識是有三十六旬和三十七旬兩種周期，并推論三十六旬與太陽年360天相關，增加到三十七旬，有的認為是365天多，有的認為在360日—370日中間，這已經觸摸到中國古度的實質，但沒有數學的理念與算法。其實，第37旬是運算外插法，誠可謂最為關鍵的一次十進制與六十進制的交換運算，唯獨這一“旬”的十日變為少于六日而多于五日之數，就是365天多至366天少之間。這個問題另文探討），牽連天文學的年、月、日、時的基本數值，內涵極其豐富，它是數學天文學的命脈之所在。黃金分割率的算法是天文學中的“優選法”。 再強調一下，數學天文學表達式與算法的方形、小方格均關聯360度（36個旬），而小方格是運算的基本方式。

     現在所謂的“中國古度”，是漢代“周天度”，或“歲長天”，稱為“四分歷”，這個數值未見說明算法。【8】陳遵媯《中國天文學史》，上海人民出版社，2016年版，第146頁）這與新石器時代的真正古度有天壤之別。這個“°”是讓我們的研究者非常尷尬的一個數，

【9】〔英〕李約瑟《文明的滴定》認為：“中國沒有把刻度環分成360°，而是根據一年的日數分成°。初看起來這似乎很笨拙，但實際上確有好處。商務印書館，2018年版，第67頁。此外，江曉原、紐衛星《中國天學史》引述日本飯島忠夫1925年發表的《支那古代史論》認為，中國四分歷取回歸年長度為日，是源自古希臘歐多克斯。上海人民出版社，2005年版，第14頁）關鍵是丟失了自己的360度與度本身，致使°前后失據，沒有根基。

（二）用黃金分割率運算周年視運動的春分點太陽年的長度，極簡的算法是：

A．10＋12＝22

B．22÷2÷2÷2÷2÷2＝0.6875

C．0.6875×0.9＝0.61875

D．0.61875－0.5＝0.11875

e.0.118×36＝4.275

F.4.275＋360＝364.275

G.364.275＋1＝365.275

這個春分點太陽年長度365.275天，是恒定的標準數值，不受視運動推步法的具體區域、視域、氣候、物候等特點的影響。也就是說，數學天文學一降生就有這五個數值：一個是干支集合論三合函數，一個是周年視運動基數360度，一個是春分點太陽年長度365.275天，一個是“旬”字的黃金分割率0.618；一個是周日視運動的24時辰。冬至點回歸年則不同，必須按照推步法的具體觀測點的觀測數據進行交換運算。數學天文學的理論模型，歷法天文學是數學天文學的具體應用。

殷商“癸”字有三種形體：“”（《鐵云藏龜》112.3）形表示天體運轉的坐標，東西向對角線指向春分點與秋分點；東北向對角線指向夏至點與冬至點；“”（《殷契佚存》545）形也表示這種坐標，但增加了天體周轉以外的短線，有運算外插法的意思。 晚商《 癸?卣》銘文“癸”（，《集成》4839）形表示天體運轉的南北極，兩極均有天體周轉以外的短線，也有外插法的意思。這與“旬”字所指是對應的，顯示出周天360度與外插法的算法。

西方天文學史不同，起源很早而計算較晚，因為其數學與天文學分作兩個學科，例如，古巴比倫的可以稱作是“計算天文學”的起點，大約在公元前500年，真正使用鋸齒形函數計算的天文學是始于公元前132年，而數學在公元前2000左右就已經有了成熟的十進制與六十進制。簡單的說，數學與計算天文學相距1500年。這與西方科學起源的多頭線索相關。【10】〔美〕戴維·林德伯格《西方科學的起源——公元前1450年之前宗教、哲學、體制背景下的歐洲科學傳統》，張卜天譯，商務印書館，2019年版，第20—21頁、第24—25頁。按：巴比倫占卜天象與天文學混合在一起，涉及諸神與地界事物的關系非常廣泛，在計算天文學之前已有數個世紀，甚至時間更長。

華夏先民的想法很實在，沒有數值與算法，就談不上有天文學。年、月、日、時都不知道，日出而作、日落而息干什么？【11】江曉原等《中國天學史》依據殷墟卜辭的天學研究成果，參照中國天文學史整理研究小組編著《中國天文學史》，歸納出殷代天文學的八個要點：（1）陰陽合歷。（2）年有平閏、月有大小。（3）年終置潤。（4）尚無四季的劃分，只有春、秋。（5）可能已有測定分、至的知識。（6）歲首已基本固定。（7）以新月為一月之始。（8）年、月之始及閏月的設置都是根據實際觀測決定的，尚未能做到預先推算。上海人民出版社，2005年版，第11頁。按：這種關于學術研究進展的歸納比較客觀、準確、公允，相當于認為殷商時代270余年的天文學，沒有具體數值與算法。馮時《百年來甲骨文天文歷法研究》認為：“沒有古人對時間的掌握，便不會有農業文明的出現”，又將中國古代天文學的起始定于河南舞陽賈湖和安徽蚌埠雙墩的新石器時代遺存，這種理念是合理的，然而在百年來殷商甲骨文天文歷法研究的總結中，未見到殷人的年、月、日、時的一個數值。中國社會科學出版社，2011年版，第344—351頁。按；百年來研究者非常關注天文歷法的數值問題，也孜孜以求，但毫無殷商“數學”的理念與知識，天文學的數值就沒有著落）曲安京《中國數理天文學》認為，春秋以前“還沒有科學的歷法出現”，“由于中國傳統數理天文學采用的主要是數值方法，與西方傳統的幾何模型很不相同，在大多數情形下，從形式上根本看不到兩者的任何相似之處。”【12】科學出版社，2008年版，第24—25頁、第22頁）這種論斷直接了當，就是用西式的數學標準看，中國傳統是“數值方法”，西方傳統是幾何模型，這代表著現在學界的主流看法，數學思維是合理的，但中國遠古的農業文明的講述則遇到麻煩，什么時間春種秋收呢？

還有一個硬核的數值可能被忽略了，古希臘天文學的地心說占據西方1300多年，缺失地球繞自轉軸自轉的周日24度（時辰）的數值與算法，用這種西式的算法來對待中國古代天文學的數值，可能就是一片空白。

中國古代的數學天文學，首先是“幾何模型”，不只是數學工具，而是天文學本身，同時也是“數值方法”，有完整的年、月、日、時的基本數值，這可以與現代科學的數學方法對接、交換。為什么研究者視而不見呢？意大利畫家達·芬奇的黃金分割比例的形像，我們耳熟能詳；中國殷商甲骨文的“旬”字的黃金分割率之螺旋線，我們則看不懂？這首先是科學史研究的一個“可公度性”問題，這兩種數學思維的“度”應該有“公度”。中國古代的天文學研究、數學研究，說不說天體運轉的“度”、數量計算的“度”？是說引進的西式的“度”，或者中國古法的“度”，亦或是對接、交換的度？這個問題根本無法繞開走。（待續）

 2022年1月12日于武昌